第24讲：《不定积分的分部积分法与一般计算思路》内容小结、课件与典型例题与练习

一、分部积分法的基本依据

不定积分的分部积分法基于两个函数的乘积的求导运算法则，即

二、分部积分法的基本思路

不定积分的分部积分法的关键是构造.

基本思路：将被积函数拆分成两个函数的乘积，如

并且其中一个函数的原函数好求，如的原函数为，则可以直接令，，则借助分部积分公式可以将积分转换为的积分计算，如果该积分比原来的不定积分计算容易计算，则对的拆分是一个有效拆分，否则需要重新考虑其它方法. 

如果被积表达式改写为后，可以改写为的函数，则考虑第一类换元法简化被积表达式后再考虑其计算过程. 

三、使用原则与题型

反对幂指三：，的构造除了有“反(反三角函数)对(对数函数)幂(幂函数)指(指数函数)三(三角函数，主要就是正弦、余弦函数)，前者为，后者为”原则外：

(1)  函数的选取也可以考虑对被积函数的部分求导数的方法构造. 比如

当然这个题目也可以先考虑换元法进行计算，具体参见该题的具体求解思路与过程.

(2) 如果被积函数不好拆分，则直接令被积函数，进行分部积分计算. 如对，等函数直接求不定积分，则，；，.

(3) 对含自然数的积分, 通过分部积分建立递推公式. 参见课件中包含有的积分的计算思路与过程. 如果是三角函数或者可以转换三角函数的次方的积分，则考虑借助三角函数函数的恒等式拆分次方，比如

(4) 对于抽象函数中包含有一阶、二阶等导数乘积项的不定积分，一般直接由抽象函数的导数构造函数，使用分部积分法计算不定积分，即

(5) 如果要多次使用分部积分法，则注意前后的，所设函数类型必须一致；即第一步选用三角函数构造，则第二次使用分部积分法时，必须也用三角函数构造.

(6) 不定积分一般综合使用换元法与分部积分法来计算，一般都是先换元后分部.

【注】 不定积分是原函数族 , 两个不定积分相减不应为，应该为一个常数，具体参见课件中练习最后一题的讨论. 

更一般的不定积分计算思路、步骤与典型题分析可以参见在线课堂中的相关教学视频，具体课程列表如下：

第九届全国初赛非数学专业真题解析

填空题第5题：不定积分计算思路与方法

• 不定积分计算的一般思路分析与探索(10分钟)

• 不定积分换元法分部积分法综合应用案例解析(14分钟)

第十届全国初赛非数学专业真题解析

填空题第3题 不定积分计算的一般思路与步骤

• 换元法与分部积分法计算积分思路探索与分析(16分钟)

• 拆项凑微分方法计算不定积分(8分钟)

第十一届全国初赛非数学专业真题解析

填空题第2题：不定积分的参数方程计算方法

• 不定积分的参数方程计算方法(15分钟)

第一学期：一元函数微积分综合应用基础与提高

• 10不定积分计算的一般思路与方法 (14分钟)

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参考课件

【注】课件中例题与练习参考解答请参见对应的后续推文，或者通过公众号底部菜单 高数线代 下的 高等数学概率其他 选项，在打开的导航列表中通过“高等数学”面板查看各章节推送推文列表！

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